nyckfullt

Oändligheten finns i det ändliga, del II

oktober 7, 2009 · 1 kommentar · oändligheten

Även i matematiken finns det exempel på oändligheter som dyker upp i ändliga situationer.

Ett exempel är Zenons paradox: tänk dig en sträcka mellan dig (vi kallar den punkten A) och dörren (som vi kan kalla B). Gå sedan hälften av sträckan, och hälften av den kvarvarande sträckan, och hälften igen, osv.

Trots att du hela tiden, i all oändlighet om du så vill, rör dig framåt så kommer du ändå aldrig komma fram till dörren, eftersom du per definition alltid har avstånd kvar (du rör dig ju bara 50% framåt hela tiden). Aldrig. Faktum är att samma exempel fortfarande håller även om du bestämmer dig för att gå 99,99% av vägen varje gång!

En oändlig omkrets av en ö

Hur mäter man omkretsen av en ö på bästa sätt? Detta är ett klassiskt problem som upptäcktes av Benoit Mandelbrot. För att göra det enkelt skulle vi kunna ta ett flygfoto, ta reda på vad en centimeter på fotot motsvarar i verkligheten, och sen mäta fotot med en linjal. Fast då får vi en ganska grov mätning.

Om vi noggrannt skulle ta med alla bukter och svängningar skulle svaret bli att den är ännu längre än vi tidigare mätt, eftersom vi i den grova mätningen inte kunnat mäta mindre oregelbundenheter med vår raka linjal och utzoomade bild?

För att få en exaktare mätning skulle vi kunna be någon stackare gå med en liten 30 centimeters-linjal runt hela ön och mäta. Då borde vi få ett exaktare, och framförallt längre svar eftersom vi nu får med ännu mindre svängar som vi tidigare ignorerat. Om vi vill ha ännu exaktare svar? Säg att vi kunde ha en ännu mindre linjal, med vars hjälp vi kunde mäta de ännu mindre oregelbundenheterna som inte ens en 30 centimeters-linjal rår sig på, då kommer vi få ett ännu längre svar.

Ju mindre ”linjal” vi använder för att mäta de allt mindre oregelbundenheterna kommer vi få ett längre och längre svar på omkretsen för ön.

Om vi tror på det vi kommit fram till tidigare, att allt går att dela i allt mindre och mindre beståndsdelar i all oändlighet (och därmed rimligtvis mindre och mindre oregelbundenheter) så borde vi även komma fram till att vår mätning kan leda till att ön har precis hur lång omkrets som helst; den får en oändligt lång omkrets. Beroende på hur liten ”linjal” vi använder kan vi få den precis hur lång som helst.

1 kommentar